密度矩阵模拟器

目前量子计算机的主要局限在于通用量子计算机所需的量子系统规模非常大，技术实现困难，因而人们主要利用中小规模量子体系，解决特定问题。

对于纯态和混合态量子比特系统，需要找到一种在低比特情况下，正确模拟噪声测量以及对哈密顿算符期望进行求解，而 密度矩阵模拟器 提供这一问题的解决方案。

密度矩阵基础

对于混合态，态矢已难以完整的表示系统的量子态，一般使用密度矩阵来描述：

\[\begin{aligned} \rho = \sum_{i}^{n} p_i|\varphi_i\rangle\langle\varphi_i| \end{aligned}\]

对于纯态，可简化为

\[\rho = |\varphi\rangle\langle\varphi|\]

回到前文所述的混合态，其密度矩阵为：

\[\begin{split}\rho = \frac{1}{2}|0\rangle\langle 0| + \frac{1}{2}|1\rangle\langle 1| = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}\end{split}\]

而相同测量结果的 \(|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt 2}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt 2}|1\rangle\) 纯态，其密度矩阵为：

\[\begin{split}\rho = |\psi\rangle\langle\psi| = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{bmatrix}\end{split}\]

由密度矩阵可见，两者的量子态是完全不同的。

对于纯态，有 \(tr(\rho^2) = 1\), 混合态 \(tr(\rho^2) < 1\)。\(tr(A)\) 表示求矩阵 \(A\) 的迹，即n维矩阵 \(A\) 中对角线上元素之和。

对于一般的酉矩阵逻辑门，用密度矩阵表示其对系统的态演化：

\[\rho^{\prime} = U{\rho}U^{\dagger}\]

使用密度矩阵表示测量结果，测量得到结果m的概率为：

\[p(m) = tr(M_{m}^{\dagger}M_m\rho)\]

\[p(|0\rangle) = tr(|0\rangle\langle 0||0\rangle\langle 0|\rho)\]

以之前混合态和纯态的例子计算其测量结果为：

\[\begin{split}\begin{aligned} 混合态： p(|0\rangle) = tr( \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} ) =\frac{1}{2} \\ 纯态： p(|0\rangle) = tr( \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{bmatrix} ) =\frac{1}{2} \\ \end{aligned}\end{split}\]

密度矩阵是表达量子态的另一种方式。而密度矩阵模拟器用于求解量子线路对应的密度矩阵，以及计算量子态概率分布、模拟含噪声量子线路和计算哈密顿量期望值等等。

使用介绍

pyqpanda 中可以通过 DensityMatrixSimulator 类实现用密度矩阵模拟器。和许多其他模拟器的使用方法一样，都具有相同的量子虚拟机接口:

class DensityMatrixSimulator(QuantumMachine)

该类是用于模拟密度矩阵的量子虚拟机。该类提供了一系列方法用于模拟N比特的密度矩阵和约化密度矩阵的计算，以及直接获取不同噪声环境下量子线路模拟后的概率分布

get_density_matrix(prog: QProg) → numpy.ndarray[numpy.complex128[m, n]]

执行量子程序并获取完整的密度矩阵。

参数:: prog (QProg) -- 量子程序。
返回:: 完整的密度矩阵。
返回类型:: numpy.ndarray[numpy.complex128[m,n]]
抛出:: run_fail -- 获取密度矩阵时发生错误。

get_expectation(prog: QProg, hamiltonian: List[Tuple[Dict[int, str], float]], qubits: QVec) → float

get_expectation(prog: QProg, hamiltonian: List[Tuple[Dict[int, str], float]], qubits: List[int]) → float

执行量子程序并计算给定哈密顿量的期望值。

参数:

prog (QProg) -- 量子程序。
hamiltonian (List[Tuple[Dict[int,str],float]]) -- 哈密顿量。
qubits (QVec or List[int]) -- 选定的量子比特或量子比特列表。

返回:

选定量子比特上的哈密顿量期望值。

返回类型:

float

抛出:

run_fail -- 计算期望值时发生错误。

get_probabilities(prog: QProg) → List[float]

get_probabilities(prog: QProg, qubits: QVec) → List[float]

get_probabilities(prog: QProg, qubits: List[int]) → List[float]

get_probabilities(prog: QProg, indices: List[str]) → List[float]

执行量子程序并获取所有可能性的概率。

参数:

prog (QProg) -- 量子程序。
qubits (QVec or List[int]) -- 选定的量子比特或量子比特列表。
indices (List[str]) -- 选定的二进制索引列表。

返回:

量子程序的概率结果。

返回类型:

List[float]

抛出:

run_fail -- 获取概率时发生错误。

get_probability(prog: QProg, index: int) → float

get_probability(prog: QProg, index: str) → float

执行量子程序并获取给定索引的概率。

参数:

prog (QProg) -- 量子程序。
index (int or str) -- 测量索引（在 [0,2^N - 1] 范围内）。

返回:

量子程序的概率结果。

返回类型:

float

抛出:

run_fail -- 获取概率时发生错误。

get_reduced_density_matrix(prog: QProg, qubits: QVec) → numpy.ndarray[numpy.complex128[m, n]]

get_reduced_density_matrix(prog: QProg, qubits: List[int]) → numpy.ndarray[numpy.complex128[m, n]]

执行量子程序并获取选定量子比特的约化密度矩阵。

参数:

prog (QProg) -- 量子程序。
qubits (QVec or List[int]) -- 选定的量子比特或量子比特列表。

返回:

约化密度矩阵。

返回类型:

numpy.ndarray[numpy.complex128[m,n]]

抛出:

run_fail -- 获取约化密度矩阵时发生错误。

init_qvm(is_double_precision: bool = True) → None

初始化量子虚拟机。

参数:: is_double_precision (bool, optional) -- 是否使用双精度（默认为 True）。

set_noise_model(arg0: numpy.ndarray[numpy.complex128[m, n]]) → None

set_noise_model(arg0: numpy.ndarray[numpy.complex128[m, n]], arg1: List[GateType]) → None

set_noise_model(arg0: List[numpy.ndarray[numpy.complex128[m, n]]]) → None

set_noise_model(arg0: List[numpy.ndarray[numpy.complex128[m, n]]], arg1: List[GateType]) → None

set_noise_model(arg0: NoiseModel, arg1: GateType, arg2: float) → None

set_noise_model(arg0: NoiseModel, arg1: List[GateType], arg2: float) → None

set_noise_model(arg0: NoiseModel, arg1: GateType, arg2: float, arg3: QVec) → None

set_noise_model(arg0: NoiseModel, arg1: List[GateType], arg2: float, arg3: QVec) → None

set_noise_model(arg0: NoiseModel, arg1: GateType, arg2: float, arg3: List[QVec]) → None

set_noise_model(arg0: NoiseModel, arg1: GateType, arg2: float, arg3: float, arg4: float) → None

set_noise_model(arg0: NoiseModel, arg1: List[GateType], arg2: float, arg3: float, arg4: float) → None

set_noise_model(arg0: NoiseModel, arg1: GateType, arg2: float, arg3: float, arg4: float, arg5: QVec) → None

set_noise_model(arg0: NoiseModel, arg1: List[GateType], arg2: float, arg3: float, arg4: float, arg5: QVec) → None

set_noise_model(arg0: NoiseModel, arg1: GateType, arg2: float, arg3: float, arg4: float, arg5: List[QVec]) → None

该方法用于设置噪声模型，以在模拟中引入量子门的错误。

参数:

arg0 (numpy.ndarray[numpy.complex128[m,n]] or List[numpy.ndarray[numpy.complex128[m,n]]] or NoiseModel or GateType or float) -- 噪声模型参数，可能的类型包括 numpy 数组、噪声模型、量子门类型（GateType）、浮点数等。
arg1 (Varies (See detailed descriptions)) -- 噪声模型的参数，具体类型取决于参数类型。
arg2 (float) -- 噪声强度，表示引入的错误概率。
arg3 (QVec or List[QVec] or QVec) -- 选定的量子比特列表（或量子比特），用于针对特定比特引入噪声（部分参数可能会用到）。
arg4 (Varies (See detailed descriptions)) -- 更多参数，具体类型和用途取决于参数类型。
arg5 (Varies (See detailed descriptions)) -- 更多参数，具体类型和用途取决于参数类型。

返回:

无返回值。

返回类型:

None

完整示例代码

以下示例展示了密度矩阵模拟器计算部分接口的使用方式

from numpy import pi
from pyqpanda import *

machine = DensityMatrixSimulator()
machine.init_qvm()

q = machine.qAlloc_many(2)
c = machine.cAlloc_many(2)

prog = QProg()
prog.insert(H(q[0]))\
    .insert(Y(q[1]))\
    .insert(RY(q[0], pi / 3))\
    .insert(RX(q[1], pi / 6))\
    .insert(RX(q[1], pi / 9))\
    .insert(CZ(q[0], q[1]))

# 获取对应量子程序的密度矩阵
print(machine.get_density_matrix(prog))

# 获取对应量子程序的在指定量子比特下的约化密度矩阵
print(machine.get_reduced_density_matrix(prog, [0]))

# 获取对应量子程序指定量子态的概率
print("quantum state 00 probability : ", machine.get_probability(prog, "00"))

# 获取对应量子程序所有量子态的概率分布
print(machine.get_probabilities(prog))

# 获取对应量子程序指定哈密顿量下演化的期望值
operator = 0.23 * x(1) + 0.2 * y(1) + 1.6 * z(0)
expval = machine.get_expectation(prog,operator.to_hamiltonian(False),[0, 1])
print(expval)

# 设置噪声模型和参数
machine.set_noise_model(NoiseModel.BITFLIP_KRAUS_OPERATOR, GateType.HADAMARD_GATE, 0.3)
machine.set_noise_model(NoiseModel.BITFLIP_KRAUS_OPERATOR, GateType.CZ_GATE, 0.3)

# 获取加入噪声后，密度矩阵信息和概率分布
print(machine.get_density_matrix(prog))
print(machine.get_probabilities(prog))

machine.finalize()

输出结果如下：

# 对应量子程序的密度矩阵
[[ 0.01196435+0.j  0.04465155+0.j  0.-0.02565762j  1.+0.09575556j]
[ 0.04465155+0.j   0.16664185+0.j  0.-0.09575556j  1.+0.35736463j]
[ 0.+0.02565762j   0.+0.09575556j  0.05502295+0.j -0.20534845+0.j]
[-0.-0.09575556j  -0.-0.3573646j  -0.20534845+0.j  0.76637085-0.j]]

# 对应量子程序的在指定量子比特下的约化密度矩阵
[[ 0.0669873+0.j -0.1606969+0.j]
[-0.1606969+0.j  0.9330127+0.j]]

# 对应量子程序指定量子态的概率
quantum state 00 probability :  0.01196434643886035

# 对应量子程序所有量子态的概率分布
[0.01196434643886035, 0.1666418487178699, 0.05502295166892035, 0.7663708531743493]

# 对应量子程序指定哈密顿量下演化的期望值
-1.5183234356888893

# 加入噪声后，密度矩阵信息
[[ 0.12138551+0.j  -0.03034845+0.j  0.+0.03569962j 1.+0.03830222j]
[-0.03034845+0.j  0.25005696+0.j  0.-0.03830222j 1.+0.09698317j]
[ 0.-0.03569962j  0.+0.03830222j  0.2054094 +0.j -0.13034845+0.j]
[ 0.-0.03830222j  0.-0.09698317j -0.13034845+0.j 0.42314812+0.j]]

# 加入噪声后，概率分布
[0.12138551462195893, 0.25005696344073314, 0.20540940462115326, 0.4231481173161546]

除此之外，密度矩阵的噪声可以叠加，参考下面的一个简单的例子，对于如下的简单线路

from numpy import pi
from pyqpanda import *

machine = DensityMatrixSimulator()
machine.init_qvm()

prog = QProg()
q = machine.qAlloc_many(2)
c = machine.cAlloc_many(2)

prog.insert(X(q[0]))\
    .insert(CNOT(q[0], q[1]))

density_matrix1 = machine.get_density_matrix(prog)

print(density_matrix1)

当我们同时对所有X门设置触发两次比特翻转噪声时，密度矩阵的演化如下：

machine.set_noise_model(NoiseModel.BITFLIP_KRAUS_OPERATOR, GateType.PAULI_X_GATE, 0.3)
print(machine.get_density_matrix(prog))

machine.set_noise_model(NoiseModel.BITFLIP_KRAUS_OPERATOR, GateType.PAULI_X_GATE, 0.3)
print(machine.get_density_matrix(prog))

运行结果如下：

# 第一次施加的噪声
[[0.3+0.j 0. +0.j 0. +0.j 0. +0.j]
[0. +0.j 0. +0.j 0. +0.j 0. +0.j]
[0. +0.j 0. +0.j 0. +0.j 0. +0.j]
[0. +0.j 0. +0.j 0. +0.j 0.7+0.j]]

# 噪声再次叠加的结果
[[0.42+0.j 0. +0.j 0. +0.j 0. +0.j]
[0. +0.j 0. +0.j 0. +0.j 0. +0.j]
[0. +0.j 0. +0.j 0. +0.j 0. +0.j]
[0. +0.j 0. +0.j 0. +0.j 0.58+0.j]]