泡利算符类

泡利算符是一组三个2×2的幺正厄米复矩阵，又称酉矩阵。我们一般都以希腊字母 \(\sigma\) （西格玛）来表示，记作 \(\sigma_x\) ，\(\sigma_y\) ，\(\sigma_Z\) 。 在 QPanda 中我们称它们为 \(X\) 门，\(Y\) 门，\(Z\) 门。 它们对应的矩阵形式如下表所示。

X
\(\sigma_x\)
\(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\quad\)
Y
\(\sigma_y\)
\(\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}\quad\)
Z
\(\sigma_z\)
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\quad\)

泡利算符的运算规则如下：

1. 泡利算符与自身相乘得到是单位矩阵

\[\sigma_x\sigma_x = I\]
\[\sigma_y\sigma_y = I\]
\[\sigma_z\sigma_z = I\]

2. 泡利算符与单位矩阵相乘，无论是左乘还是右乘，其值不变

\[\sigma_xI = I\sigma_x = \sigma_x\]
\[\sigma_yI = I\sigma_y = \sigma_y\]
\[\sigma_zI = I\sigma_z = \sigma_z\]

3. 顺序相乘的两个泡利算符跟未参与计算的泡利算符是 \(i\) 倍的关系

\[\sigma_x\sigma_y = i\sigma_z\]
\[\sigma_y\sigma_z = i\sigma_x\]
\[\sigma_z\sigma_x = i\sigma_y\]

4. 逆序相乘的两个泡利算符跟未参与计算的泡利算符是 \(-i\) 倍的关系

\[\sigma_y\sigma_x = -i\sigma_z\]
\[\sigma_z\sigma_y = -i\sigma_x\]
\[\sigma_x\sigma_z = -i\sigma_y\]

接口介绍

根据泡利算符的上述性质，我们在 pyQPanda 中实现了泡利算符类 PauliOperator。我们可以很容易的构造泡利算符类，例如

from pyqpanda import *

if __name__=="__main__":
    # 构造一个空的泡利算符类
    p1 = PauliOperator()

    # 2倍的"泡利Z0"张乘"泡利Z1"
    p2 = PauliOperator("Z0 Z1", 2)

    # 2倍的"泡利Z0"张乘"泡利Z1" + 3倍的"泡利X1"张乘"泡利Y2"
    p3 = PauliOperator({"Z0 Z1": 2, "X1 Y2": 3})

    # 构造一个单位矩阵，其系数为2，等价于p4 = PauliOperator("", 2)
    p4 = PauliOperator(2)

其中PauliOperator p2("Z0 Z1", 2)表示的是 \(2\sigma_{0}^{z}\otimes\sigma_{1}^{z}\)。

注解

构造泡利算符类的时候，字符串里面包含的字符只能是空格、 \(X\)、 \(Y\) 和 \(Z\)中的一个或多个，包含其它字符将会抛出异常。 另外，同一个字符串里面同一泡利算符的比特索引不能相同，例如：PauliOperator("Z0 Z0", 2)将会抛出异常。

泡利算符类之间可以做加、减、乘等操作，计算返回结果还是一个泡利算符类。

a = PauliOperator("Z0 Z1", 2)
b = PauliOperator("X5 Y6", 3)

plus = a + b
minus = a - b
muliply = a * b

泡利算符类支持打印功能，我们可以将泡利算符类打印输出到屏幕上，方便查看其值。

a = PauliOperator("Z0 Z1", 2)

print(a)

我们在实际使用的时候，常常需要知道该泡利算符类操作了多少个量子比特，这时候我们通过调用泡利算符类getMaxIndex接口即可得到。 如果是空的泡利算符类调用getMaxIndex接口则返回0，否则返回其最大下标索引值加1的结果。

a = PauliOperator("Z0 Z1", 2)
b = PauliOperator("X5 Y6", 3)

# 输出的值为2
print(a.getMaxIndex())
# 输出的值为7
print(b.getMaxIndex())

如果我们构造的的泡利算符类，其中泡利算符的下标索引不是从0开始分配的，例如PauliOperator("X5 Y6", 3)调用getMaxIndex接口返回的使用的比特数是7，其实 只使用了2个比特。我们如何才能返回其真实用到的比特数呢。我们可以调用泡利算符类里面remapQubitIndex接口，它的功能是对泡利算符类中的索引从0比特开始分配映射， 并返回新的泡利算符类，该接口需要传入一个map来保存前后下标的映射关系。

b = PauliOperator("X5 Y6", 3)

index_map = []
c = b.remapQubitIndex(index_map)

# 输出的值为7
print(b.getMaxIndex())
# 输出的值为2
print(a.getMaxIndex())

实例

以下实例主要是展示 PauliOperator 接口的使用方式。

from pyqpanda import *

if __name__=="__main__":

    a = PauliOperator("Z0 Z1", 2)
    b = PauliOperator("X5 Y6", 3)

    plus = a + b
    minus = a - b
    muliply = a * b

    print("a + b = ", plus)
    print("a - b = ", minus)
    print("a * b = ", muliply)

    print("Index : ", muliply.getMaxIndex())

    index_map = {}
    remap_pauli = muliply.remapQubitIndex(index_map)

    print("remap_pauli : ", remap_pauli)
    print("Index : ", remap_pauli.getMaxIndex())
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